পরিমাপ নিয়ে অসাধারণ

ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ নিয়ে অসাধারণ একটি হ্যান্ডনোট
.
#প্রশ্নঃ 
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রেটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3 গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য কত?

#যুক্তি :- লক্ষণীয় বিষয় হলো উপরের প্রথম লাইনটি আমাদের দিক নির্দেশনা দিলো যে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান ভালো কথা। যেহেতু পরবর্তী লাইনে আয়তক্ষেত্রের কথা দিয়ে শুরু করলো তাহলে আমাদের আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার মানের ভিত্তিতে কাজ করতে হবে এটা প্রথম কথা।
দ্বিতীয় লাইনটায় একটু খেয়াল করলেই দেখবেন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কোনটাই দেওয়া নেই সো আমাদের ধরে কাজ করতে হবে।যেহেতু দৈর্ঘ্য 3 গূন বলে ইন্ডিকেট করে দিয়েছে সেহেতু আমাদের শুরুতে ধরতে হবে প্রস্থ। 
তাহলে ধরি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ "x" ।
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ = "3x"
প্রশ্নে ক্ষেত্রফল দেওয়া থাকলে এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ জানা থাকলে লিখা যায় যে,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল অর্থাৎ 3x2 = 768
সুতরাং x এর একটি মান বের হবে। মনে মনে ধরলাম এই মান y বের হলো। তাহলে এই মান কিন্তু প্রস্থটাই বের হবে, তাহলে দৈর্ঘ্য হবে 3y. 
এখানে লক্ষ্য করুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ জানা থাকলে কিন্তু পরিসীমাও বের করা যায়। প্রশ্নমতে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 
= 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)। আমরা কিন্তু দৈর্ঘ্য y এবং প্রস্থ 3y পেলাম। তাহলে দেখুন পরিসীমার মান বের হবে কি,
পরিসীমা = 2 (y + 3y). মনে মনে ধরলাম এই মান "ক" বের হলো।
সর্বশেষ বলতে পারি বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ক/4 । যেহেতু আমাদের বর্গক্ষেত্রের একবাহুর মান বের করতে বলছে, অর্থাৎ একবাহু = পরিসীমা/চারটি বাহু।যেহেতু বর্গক্ষেত্রের বাহু চারটি।
চলুন সমাধান দেখে নেওয়া যাক :-

#সমাধান :- ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x
সুতরাং, 
3x2 = 768
বা, x2 = 256 [768 ÷ 3]
বা, x = 16 [বর্গমূল]

সুতরাং, 
প্রস্থ 16 মি এবং দৈর্ঘ্য 3 × 16 = 48 মি।
অতএব, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 (48 + 16)
= 128
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4 = 32
উত্তরঃ 32 মিটার।
.
#প্রশ্নঃ 
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের কয়গূন হবে?

#যুক্তি :- এখানে একটা বিষয় লক্ষ্যণীয় আছে সেটা হলো অঙ্কের প্রশ্নে কোন কিছুর মান দেওয়া নেই শুধু আমাদের শর্ত দিয়েছে যে, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কে দ্বিগুণ করলে মূল আয়তক্ষেত্রের কতগূন হবে।
তাহলে আমাদের ধরে কাজ করতে হবে।
আমরা ধরতে পারি দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y.
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দেওয়া থাকলে কিন্তু ক্ষেত্রফল বের করতে হয়। 
সুতরাং ক্ষেত্রফল = xy
এখন প্রশ্ন মতে কাজ করলে অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কে দ্বিগুণ করলে তারমানে হলো নতুন দৈর্ঘ্য = 2x এবং
নতুন প্রস্থ = 2y
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = 4xy.
এখানে লক্ষণীয় বিষয় প্রশ্নমতে বলতে পারি আয়তক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের 4xy/xy. কারণ মূল ক্ষেত্রফল ছিল xy এবং নতুন ক্ষেত্রফল বের হলো 4xy.
এখন সমাধান দেখে নেওয়া যাক :-

#সমাধান 
ধরি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x
" " প্রস্থ = y
" " ক্ষেত্রফল = xy.
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বিগুণ করলে হয়,
নতুন দৈর্ঘ্য = 2x
নতুন প্রস্থ = 2y
নতুন ক্ষেত্রফল = 4xy

সুতরাং আয়তক্ষেত্রর নতুন ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের 4xy/xy = 4
অর্থাৎ 4 গূন।
উত্তরঃ 4 গূন।

#প্রশ্ন:- 
কোন বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

#যুক্তি :- এই ধরনের অঙ্কগুলোতে এক বাহুর দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ যাই দেওয়া থাক না কেন ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে বললে ডিরেক্টলি এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে, 
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [A + B + AB/100]
এখানে A = দৈর্ঘ্য (একবাহুর)
ও B = প্রস্থ (একবাহুর)
এবং AB = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ (একবাহুর)
যেহেতু একবাহুর মান 50% দেওয়া আছে সেহেতু অপর বাহুদ্বয়ের মানও সমান হবে অর্থাৎ প্রস্থও 50% হবে।
চলুন সূত্রে মান বসিয়ে সমাধানের কাজ দেখে নেওয়া যাক :-

#সমাধান
Short-Cut-Method
AB
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A + B + --------
100
= {50 + 50 + (50×50/100)}
= 100 + 25
= 125
উত্তরঃ 125.